Séries e Sequências

SEQUÊNCIAS

Definição: Uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos. O contradomínio de uma sequência será considerado o conjunto dos números reais.

A cada número inteiro positivo "n" corresponde um número real f(n).

   

a₁ = f(1) ; a₂ = f(2) ; a₃ = f(3) ; ... ; a_n = f(n)

Notações:

{a_n} = {a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ...}

a_n é o termo genérico da sequência.

Exemplos:

1) 

2) 

Se, quando n cresce, a_n se torna cada vez mais próximo de um número real L, diz-se que a sequência {a_n} tem limite L (ou converge para L) e se escreve:

Uma sequência que não é convergente, é chamada de divergente.

TEOREMA DO SANDUÍCHE
     Se {a_n}, {b_n}, {c_n} são sequências tais que a_n b_n c_n para todo  e se

     

    então  

SÉRIES

Definição: Se {a_n} é uma sequência, então:

A soma infinita  a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n + ... =  é chamada série.

Cada número a_i é um termo da série;

a_n é o termo genérico de ordem n.

Para definir a SOMA de infinitas parcelas, consideram-se as SOMAS PARCIAIS.

S₁ = a₁

S₂ = a₁ + a₂

S₃ = a₁ + a₂ + a₃

------------------------

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n-1 + a_n

E a SEQUÊNCIA DAS SOMAS PARCIAIS

S₁, S₂, S₃, ..., S_n, ...

Se essa sequência tem limite S, então a série CONVERGE e sua soma é S.

Ou seja: Se  , então a série converge e sua soma é  a₁+a₂+a₃+...+a_n... = S

Se a sequência {S_n} não tem limite, então a série DIVERGE.

TEOREMA

Se a série  converge, então 

OBS: * A recíproca desse teorema é falsa, isto é, existem séries cujo termo genérico tende a zero e que não são convergentes.

* Vale a contrapositiva: "se o limite não é zero, então a série não converge", que constitui o:

TESTE DA DIVERGÊNCIADada a série   ,   diverge.

  

SÉRIE GEOMÉTRICA

TIPO:     com a0

r é a razão.

Ex: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...

a = 1

r =  

   SOMA DE UMA SÉRIE GEOMÉTRICA

   A série geométrica  

   Converge e tem soma       se | r | < 1.

   Diverge se | r |  1.

TESTE DA COMPARAÇÃO

Sejam   e    duas séries de termos positivos. Então:

* Se      , sendo "c" um número real, então as séries são ambas convergentes ouambas divergentes.

* Se      e se  converge, então  também converge.

* Se     e se   diverge, então  também diverge.

OBS: Se a_n é expressa por uma fração, devemos considerar tanto no numerador, quanto no denominador de b_n somente os termos de maior importância.

Ex: Verifique se a série dada converge ou diverge:

      é uma série geométrica de razão 1/3, logo ela é convergente. Aplicando o teste da comparação, temos:

    

Logo, conclui-se que a série CONVERGE.

SÉRIE-P

    

CONVERGE se p > 1

DIVERGE se p1

Se p = 1, a série

é chamada SÉRIE HARMÔNICA e, de acordo com o teorema, é divergente.

SÉRIE ALTERNADA

É da forma:

SÉRIES DE POTÊNCIA

Séries de potências de x:

ou

Séries de potência de (x-c):

Por conveniência, vamos admitir que , mesmo quando x = 0.

Ao substituir x por um número real, obtém-se uma série de termos constantes que pode convergir ou divergir.

Em qualquer série de potências de x, a série converge sempre para x=0, pois se substituirmos x por0 a série se reduz a a₀.

Na série de potências de (x-c), a série converge para x = c.

Para determinar os outros valores de x para os quais a série converge, utiliza-se o teste da razão.

TESTE DE LEIBINZ

Uma série alternada CONVERGE se:

* Seu termo genérico, em módulo, tende a zero.

* A série dos módulos é decrescente.

Há três maneiras diferentes de verificar se a série dos módulos é decrescente.

a) verificar se, para todo "k" inteiro positivo, .

b) verificar se, para todo "k" inteiro positivo, .

c) considerar a função f(x) = f(n) e verificar o sinal de sua derivada. Se f'(x)<0, então f é decrescente.

CONVERGÊNCIA ABSOLUTA

Definição: Uma série  é absolutamente convergente se a série dos módulos

é convergente.

Ex: A série alternada  é absolutamente convergente, pois a série dos módulos  é uma série-p, com p=2 > 1 e, portanto, convergente.

TEOREMA

Se uma série infinita é absolutamente convergente, então a série é convergente.

TESTE DE D'ALEMBERT

Seja  uma série de termos não nulos e seja  . Então:

* Se L < 1, a série é ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE.

* Se L > 1, (incluindo L = ), a série é DIVERGENTE.

* Se L = 1, o teste falha (nada se pode afirmar).

RESUMO
 

TESTE	SÉRIE	CONVERGÊNCIA ou DIVERGÊNCIA	COMENTÁRIOS
daDIVERGÊNCIAou do N-ÉSIMO TERMO		DIVERGE  se	Nada se pode afirmar se
SÉRIE GEOMÉTRICA		* CONVERGE e tem soma     se | r | < 1.* DIVERGE se | r |  1	Útil para testes de comparação
SÉRIE-P		* CONVERGE se p > 1* DIVERGE se p  1	Útil para testes de comparação
daCOMPARAÇÃOno limite	e an > 0, bn > 0	* Se    , , então ambas as séries CONVERGEM ou ambas DIVERGEM.* Se   e  CONVERGE, então  CONVERGE. * Se     e   DIVERGE, então  DIVERGE.	A série de comparação , é, em geral, uma série geométrica ou uma série-p.Para achar bn, consideram-se apenas os termos de anque têm maior efeito.
de LEIBNIZ	ALTERNADA an > 0	CONVERGE se:*  * A série dos módulos é decrescente.	Aplicável somente a séries alternadas.Se o primeiro item é falso, aplica-se o TESTE DA DIVERGÊNCIA.