Progressão Aritmética

Uma sucessão de números na qual a diferença entre dois termos consecutivos é constante, é denominadaprogressão aritmética, ou abreviadamente de P.A.

Representação de uma P.A.

Representando por a₁ o primeiro elemento, por a₂ o segundo elemento de uma P.A. e assim sucessivamente, até o último elemento que é representado por a_n, temos a seguinte representação para uma progressão aritmética:

P.A. ( a₁, a₂, a₃, a₄, ..., a_n ).

A representação acima se refere a uma P.A. finita com n elementos. Caso a sucessão seja infinita, utilizamos a seguinte representação:

P.A. ( a₁, a₂, a₃, a₄, ..., a_n, ... ).

Terminologia

P.A. ( 5, 7, 9, 11, 13, 15 )

Acima temos a representação de uma progressão aritmética finita.

Um termo qualquer é identificado por a_n, onde n indica a posição deste termo. Por exemplo, o termo a₄ se refere ao quarto termo desta P.A., que no caso é igual a 11, já o primeiro termo, a₁, nesta P.A. é igual a 5.

Como supracitado, a diferença entre dois termos consecutivos de uma P.A. é constante. Neste exemplo este valor é igual a 2, por exemplo, a diferença entre o primeiro e o segundo termo é igual a 2.

Este valor constante que é a diferença entre um termo e outro é denominado razão da progressão aritmética e é representado pela letra r.

Se representamos um termo qualquer de uma P.A. por a_n, então podemos dizer que o seu antecedente é igual aa_{n - 1} e que o seu consequente é igual a a_{n + 1}.

Desta forma podemos dizer que r = a_{n + 1} - a_n, ou ainda r = a_n - a_{n - 1}.

Veja os seguintes exemplos: r = a₄ - a₃ = 11 - 9 = 2 e ainda r = a₃ - a₂ = 9 - 7 = 2.

Além disto temos que um termo qualquer de uma P.A. é média aritmética entre o seu antecedente e o seu consequente:

Progressão aritmética constante

Uma progressão aritmética é constante quando a sua razão é igual a zero. Neste caso todos os termos da P.A. têm o mesmo valor.

Exemplos:

P.A. ( 0, 0, 0, ... )

P.A. ( 3, 3, ..., 3 )

P.A. ( 7, 7, 7 )

Note que em todas as progressões acima r = 0.

Progressão aritmética crescente

Uma progressão aritmética é crescente quando a sua razão é maior que zero, ou seja, quando o consequente de um termo qualquer é maior que este termo.

Exemplos:

P.A. ( 1, 2, 3, ... )

P.A. ( 15, 21, 27, ... )

P.A. ( -16, -12, -8 )

Note que a razão das progressões acima, respectivamente 1, 6 e 4 são todas maiores que zero.

Progressão aritmética decrescente

Uma progressão aritmética é decrescente quando a sua razão é menor que zero, ou em outras palavras, quando o consequente de um termo qualquer é menor que este termo.

Exemplos:

P.A. ( 31, 29, 27, ... )

P.A. ( 75, 68, 61, ... )

P.A. ( 9, 0, -9 )

Veja que a razão das progressões acima, respectivamente -2, -7 e -9 são todas menores que zero.

Fórmula do termo geral de uma P.A.

Como sabemos, o próximo termo de um termo de uma P.A. é igual ao referido termo mais a razão r. Para uma P.A. genérica podemos dizer que o segundo termo é igual ao primeiro termo, a₁, mais a razão r:

O terceiro termo é resultado da soma do segundo termo com a razão:

Mas vimos que a₂ = a₁ + r, substituindo-o na expressão temos:

O quarto termo é resultado da soma do terceiro termo com a razão e como sabemos que a₃ = a₁ + 2r, temos:

Seguindo este raciocínio, o quinto termo será:

O sexto termo será:

Resumidamente temos:

Portanto, partindo-se do primeiro termo, a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é:

Mas e se partirmos de outro termo que não o primeiro?

Vejamos:

         

Na fórmula do termo geral da P.A., subtraímos 1 de n quando partimos do termo a1, perceba que quando partimos do termo a₂, subtraímos 2 de n, assim como subtraímos 3 ao partirmos de a₃ e 4 quando partirmos de a₄. Partindo então de um termo m, podemos reescrever a fórmula do termo geral da P.A. como:

Compreendendo a fórmula do termo geral da P.A. em função de qualquer termo

Como é de costume vamos a um exemplo para que a explicação fique de mais fácil entendimento.

Através da fórmula acima, vamos expressar o termo a₅ de uma P.A. genérica, em função do termo a₃:

Temos então que o termo a₅ pode ser expresso em função do termo a₃ como:

Embora seja óbvio, se não formos alertados, talvez não percebamos o que de fato a fórmula faz. Vejamos:

Sabemos que o próximo termo após a₃, é o termo a₄, que equivale a a₃ mais r, para chegarmos ao próximo termo, o a₅, somamos mais outra vez a razão r, ou seja, como nos deslocamos duas posições à direita, acrescentamos 2rao termo a₃ para chegarmos ao termo a₅. Veja que foi exatamente este o resultado obtido em função da fórmula, ou seja, a₅ = a₃ + 2r.

Agora para que vejamos como este raciocínio é bem mais prático que recorrermos à formula, vamos voltar de a₅para a₃:

Agora o termo procurado está à esquerda do termo atual, na verdade duas posições à sua esquerda, então vamos subtrair de a₅ duas vezes a razão, temos então que a₃ = a₅ - 2r.

Apenas para confirmação, vemos na sentença abaixo que através da fórmula chegamos ao mesmo resultado:

Em resumo, se partindo do termo atual iremos avançar n termos à direita, para chegarmos ao termo final, então temos que somar n vezes a razão r ao termo inicial. Se nos deslocarmos à esquerda, o procedimento é semelhante, só que ao invés de somarmos, iremos subtrair n vezes a razão r ao termo inicial.

Podemos afirmar, por exemplo, que a₁₇ = a₇ + 10r, pois avançamos 10 termos de a₇ a a₁₇, assim comoa₂₀ = a₂₅ - 5r, pois retrocedemos 5 termos de a₂₅ para a₂₀.

Soma dos termos de uma P.A.

Para expormos o raciocínio iremos utilizar a primeira P.A. utilizada como exemplo:

P.A. ( 5, 7, 9, 11, 13, 15 )

Qual é a soma dos seus termos?

Primeiramente vamos escrevê-la em ordem contrária:

P.A. ( 15, 13, 11, 9, 7, 5 )

Agora vamos montar uma outra P.A. cujo termo a_n seja a soma do termo a_n desta duas progressões:

P.A. ( 20, 20, 20, 20, 20, 20 )

Repare as somas são todas iguais, isto ocorre porque a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma dos seus extremos. Como neste caso os extremos são 5 e 15, temos que a soma de dois termos quaisquer equidistantes dos extremos será igual a 20.

Tendo em vista que temos seis termos nesta P.A, multiplicando 6 por 20, nos dará 120 que equivale a justamente o dobro da soma dos termos da P.A.

A divisão de 120 por 2 nos dará a soma dos termos desta P.A. que é igual a 60.

Generalizando temos que a soma de todos os termos de uma progressão aritmética é igual ao produto do número de termos pela metade da soma do primeiro com o n-ésimo termo. Em notação matemática temos:

Observe que esta fórmula nos permite calcular a soma de todos os termos de uma P.A., ou a soma de apenas os nprimeiros termos da mesma.

Se não dispusermos de a_n, desde que tenhamos a razão r, podemos utilizar esta outra fórmula abaixo, que foi deduzida simplesmente se substituindo a_n por seu respectivo valor a₁ + (n - 1)r:

Mas se ao invés de somarmos todos os elementos da P.A., quiséssemos somar apenas os termos do terceiro ao quinto por exemplo?

Neste caso é como se tivéssemos a seguinte P.A.:

P.A. ( 9, 11, 13 )

Recorrendo à fórmula temos:

Mas veja que podemos expressar a fórmula da soma dos termos da seguinte maneira:

Note que declaramos como p e q a posição do primeiro e do último termo do intervalo respectivamente, declarando assim a_p como o primeiro termo do intervalo e a_q como o último. Note também que o número de termos do intervalo considerado é igual à diferença entre as posições do último e do primeiro termo considerado, mais um.

Aplicando esta nova fórmula temos:

Exemplos de problemas envolvendo Progressão Aritmética

Qual é o vigésimo termo da P.A. ( 3, 10, 17, ... )?

Identificando as variáveis do problema temos:

Como conhecemos o primeiro termo e a razão da P.A., através da fórmula do termo geral iremos calcular o valor do vigésimo termo:

Logo:

O vigésimo termo da referida P.A. é igual a 136.

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Qual é a soma dos números ímpares entre 10 e 30?

Sabemos que a diferença entre um número ímpar e o seu antecedente igual a 2. Este é o valor da razão.

O primeiro número ímpar do intervalo informado é 11 é o último é 29, portanto temos as seguintes variáveis:

Para calcularmos a soma dos termos, primeiramente precisamos identificar quantos termos são. Através da fórmula do termo geral iremos obter o número de termos da sucessão:

Agora que sabemos que a sucessão possui 10 termos, podemos calcular a sua soma:

Portanto:

A soma dos números ímpares entre 10 e 30 é igual a 200.