Atividades PA e PG

• Questão 1
  A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18, 54...). Determine o 8º termo dessa progressão.   
  
  


• Questão 2
  (Vunesp – SP – Adaptado)
  Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. Elas deverão ser empilhadas respeitando a seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha. Por exemplo:
  
  Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª pilha.
  
  


• Questão 3
  (UE – PA)
  Um carro, cujo preço à vista é R$ 24 000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4 000,00 e a quarta parcela de R$ 1 000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro?
  
  


• Questão 4
  Sabendo que uma PG tem a₁ = 4 e razão q = 2, determine a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão. 
  
  

• 
  

Lista PA e PG

LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA P.A E PG 

01. (Cefet-MG) A sequência (m, 1, n) é uma progressão aritmética e a sequência (m, n, – 8) é uma
progressão geométrica. O valor de n é:
A) – 2
B) – 1
C) 3
D) 4
E) 8


02. (PUC-MG) De segunda a sexta-feira, uma pessoa caminha na pista de 670 metros que contorna certa
praça. A cada dia, ela percorre sempre uma volta a mais do que no dia anterior. Se, após andar cinco
dias, ela tiver percorrido um total de 23,45 km, pode-se afirmar que, no terceiro dia, essa pessoa deu x
voltas em torno da praça. O valor de x é:
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9

03. (Fuvest-SP) Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se,
respectivamente, 4, – 4, e – 9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa progressão aritmética,
obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos termos da progressão aritmética é:
A) 9
B) 11
C) 12
D) 13
E) 15

4. (UFOP-MG) Num determinado jogo de apostas, o prêmio pago a cada jogador vencedor é duas vezes
o valor de sua aposta. Maria adotou o seguinte esquema de apostas: na 1a
 tentativa, apostaria R$ 10,00;
na 2a
 tentativa, apostaria R$ 20,00; na 3a
 tentativa, apostaria R$ 40,00 e assim por diante, até conseguir
vencer. Num certo dia, Maria só conseguiu vencer na 10a
 tentativa. Nesse dia, ela teve lucro ou prejuízo?
De quanto?

5. (UFRJ) Felipe começa a escrever números naturais em uma folha de papel muito grande, uma linha
após a outra, como mostra a seguir:

06. (UFU-MG) Sabendo-se que o lado do primeiro quadrado de uma coleção de quadrados mede 1 cm, o
lado do segundo quadrado mede 2 cm, o do terceiro mede 3 cm, e assim sucessivamente, determine o
número mínimo de quadrados que a coleção deve ter para que a soma dos comprimentos de todas as
diagonais dos quadrados seja maior do que ou igual a 420 2 cm.

07 (Héwerton-MG) Obter uma P.A. crescente de 4 termos inteiros em que a soma dos termos é 32 e o
produto é 3465.


08 (ITA-SP) Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, não são divisíveis nem por 5 e nem
por 7.

Exercícios PA e PG

 Questões » Progressão Geométrica (PG)

lista de exercícios PA e PG

1. O valor de x, de modo que os números 3x – 1, x + 3 e x + 9  estejam, nessa ordem, em PA é

    A)   1

    B)   0

    C)   -1

    D)   –2

2. O centésimo número natural par não negativo é

    A)   200

    B)   210

    C)   198

    D)   196

3. Quantos números ímpares há entre 18 e 272?

    A)   100

    B)   115

    C)   127

    D)   135

4. Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira hora. A partir da segunda hora, os preços caem em progressão aritmética. O valor da segunda hora é R$ 4,00 e o da sétima é R$ 0,50. Quanto gastará o proprietário de um automóvel estacionado 5 horas nesse local?

    A)   R$ 17,80

    B)   R$ 20,00

    C)   R$ 18,00

    D)   R$ 18,70

5. Um doente toma duas pílulas de certo remédio no primeiro dia, quatro no segundo dia, seis no terceiro dia e assim sucessivamente até terminar o conteúdo do vidro.

Em quantos dias terá tomado todo o conteúdo, que é de 72 pílulas?

    A)   6

    B)   8

    C)   10

    D)   12

6. Se cada coelha de uma colônia gera três coelhas, qual o número de coelhas da 7ª geração que serão descendentes de uma única coelha?

    A)   3000

    B)   1840

    C)   2187

    D)   3216

7. Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação seja de 100 reais e cada uma das seguintes seja o dobro da anterior. Qual é o preço do automóvel?

    A)   R$ 12 700,00

    B)   R$ 13 000,00

    C)   R$ 11 800,00

    D)   R$ 13 200,00

8. Segundo a lei de Malthus, a população humana cresce em progressão geométrica, enquanto as fontes de alimento crescem em progressão aritmética.

    a)  Explique o significado matemático dos termos progressão geométrica e progressão aritmética.

     b)  O que aconteceria à humanidade, segundo à lei de Malthus?

9. Isis abriu uma caderneta de poupança no dia 1/2/2000 com um depósito inicial de R$ 1000,00. Suponha que os rendimentos da poupança sejam fixos e iguais a 3% ao mês.

    a)    Qual o montante dessa conta em 1/8/2000?

    b)    Em quantos meses ela terá um montante aproximadamente R$ 1 512,60?

10. Ao escalar uma trilha de montanha, um alpinista percorre 256 m na primeira hora, 128 na segunda hora, 64 na terceira hora e assim sucessivamente. Determine o tempo (em horas) necessário para completar um percurso de:

     a) 480 m                                            b) 600 m

11. (UFMG)Uma criação de coelhos foi iniciada há exatamente um ano e, durante esse período, o número de coelhos duplicou a cada 4 meses. Hoje, parte dessa criação deverá ser vendida para se ficar com a quantidade inicial de coelhos.

Para que isso ocorra, a porcentagem da população atual dessa criação de coelhos a ser vendida é

     A)  75%

     B)  80%

     C)  83,33%

     D)  87,5%

12. Numa PG de quatro termos, a razão é 5 e o último termo é 375. O primeiro termo dessa PG é

     A)   1             

     B)   2

     C)   3

     D)   4

13. A medida do lado, o perímetro e a área de um quadrado estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Qual a área do quadrado?

14. Insira quatro meios geométricos entre 1 e 243.

15. O salário inicial de um funcionário é de R$ 1 200,00. Supondo que esse funcionário receba um aumento de 5% a cada mês subsequente, de quanto será o salário dele após 6 meses?

16. São dados quatro números positivos: 12, x, y, 4. Sabendo que os três primeiros estão em PA e os três últimos estão em PG, achar x  e  y.

17. Um professor de educação física organizou seus 210 alunos para formar um triângulo. Colocou um aluno na primeira linha, dois na segunda, três na terceira, e assim por diante. O número de linhas é   

     A)    10

     B)    15

     C)    20

     D)    30

     E)    NRA

18. A razão da P.G. (a, a + 3, 5a – 3, 8a) é      (1,0)

     A)    1

     B)    2

     C)    3

     D)    4

     E)    NRA

19. Quantos termos tem a PA (5, 10, ..., 785)?

     A) 157

     B) 205

     C) 138

     D) 208

20. Um atleta corre sempre 500 metros a mais do que no dia anterior. Sabendo-se que ao final de 15 dias ele correu um total de 67 500 metros, o número de metros percorridos no 3° dia foi

     A)    1 000

     B)    2 000

     C)    1 500

     D)    2 500

     E)    2 600

21. Uma certa espécie de bactéria divide-se em duas a cada 20 minutos, e uma outra, a cada 30 minutos. Determine, após 3 horas, a razão entre o número de bactérias da 1ª e o da 2ª espécies, originadas por uma bactéria de cada espécie.

     A)    8

     B)    4

     C)    2

     D)    0

     E)    12

22. Ao escalar uma trilha de montanha, um alpinista percorre 256 m na primeira hora, 128 na segunda hora, 64 na terceira hora e assim sucessivamente. Determine o tempo (em horas) necessário para completar um percurso de 480 m.

23. O valor de x, de modo que os números  3x – 1,  x + 3  e  x + 9  estejam, nessa ordem, em PA é:

     A)      1

     B)      0

     C)      –1

     D)      –2

25. Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros são  1 – a, -a, . O quarto termo dessa progressão é:

     A)      1

     B)      4

     C)      2

     D)      3     

26. Um pintor consegue pintar uma área de 5 m²  no primeiro dia de serviço e, a cada dia, ele pinta 2 m² a mais do que pintou no dia anterior. Em que dia ele terá conseguido pintar 31 m² ?

     A)      11°

     B)      12°

     C)      13°

     D)      14° 

27. O valor de x , de modo que a seqüência (3^{x +1}, 3^{4 - x},  3^{3x +1}) seja uma progressão geométrica é:

     A)      1

     B)      2

     C)      3

     D)      4

28. Em um rebanho de 15 000 reses, uma foi infectada pelo vírus “mc₁”. Cada animal infectado vive dois dias, ao final dos quais infecciona outros três animais. Se cada rês é infectada uma única vez, em quanto tempo o “mc₁” exterminará a metade do rebanho?

     A)   15 dias

     B)   16 dias

     C)   17 dias

     D)   18 dias 

A internet em Progressão Geométrica

Pa e PG

PA

Sequências Numéricas - PA

Sequências

Progressão Geométrica - Aula 4 -Final

Progressão Geométrica - Aula 3

Pro

Progressão Geométrica - Aula 2

Progressão Geométrica - Aula 1

Progressão Aritmética - Aula 3 - Final

Progressão Aritmética - Aula 2

Progressão Aritmética - aula 1

Sequências

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

     Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamadarazão.

    Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2.

 Cálculos do termo geral

Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:   

a1	a2	a3	...	a20	...	an	...
a1	a1xq	a1xq2	...	a1xq19		a1xqn-1	...

Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.

an = a1 x qn-1

  Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:

an = 2 x (1/2)n-1

  Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:

a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8

      A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí.

Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.

Soma dos n primeiros termos de uma PG

    Seja a PG (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos S_n, vamos considerar o que segue:
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n-1 + a_n

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
S_n.q = a₁ . q + a₂ .q + .... + a_n-1 . q + a_n .q

Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:
S_n . q = a₂ + a₃ + ... + a_n + a_n . q

Observe que a₂ + a₃ + ... + an é igual a S_n - a₁ . Logo, substituindo, vem:
S_n . q = S_n - a₁ + a_n . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:

Observe que neste caso a₁ = 1.

5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

  

Exemplo:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Dessa equação encontramos como resposta  x = 50.

Progressão Aritmética

Uma sucessão de números na qual a diferença entre dois termos consecutivos é constante, é denominadaprogressão aritmética, ou abreviadamente de P.A.

Representação de uma P.A.

Representando por a₁ o primeiro elemento, por a₂ o segundo elemento de uma P.A. e assim sucessivamente, até o último elemento que é representado por a_n, temos a seguinte representação para uma progressão aritmética:

P.A. ( a₁, a₂, a₃, a₄, ..., a_n ).

A representação acima se refere a uma P.A. finita com n elementos. Caso a sucessão seja infinita, utilizamos a seguinte representação:

P.A. ( a₁, a₂, a₃, a₄, ..., a_n, ... ).

Terminologia

P.A. ( 5, 7, 9, 11, 13, 15 )

Acima temos a representação de uma progressão aritmética finita.

Um termo qualquer é identificado por a_n, onde n indica a posição deste termo. Por exemplo, o termo a₄ se refere ao quarto termo desta P.A., que no caso é igual a 11, já o primeiro termo, a₁, nesta P.A. é igual a 5.

Como supracitado, a diferença entre dois termos consecutivos de uma P.A. é constante. Neste exemplo este valor é igual a 2, por exemplo, a diferença entre o primeiro e o segundo termo é igual a 2.

Este valor constante que é a diferença entre um termo e outro é denominado razão da progressão aritmética e é representado pela letra r.

Se representamos um termo qualquer de uma P.A. por a_n, então podemos dizer que o seu antecedente é igual aa_{n - 1} e que o seu consequente é igual a a_{n + 1}.

Desta forma podemos dizer que r = a_{n + 1} - a_n, ou ainda r = a_n - a_{n - 1}.

Veja os seguintes exemplos: r = a₄ - a₃ = 11 - 9 = 2 e ainda r = a₃ - a₂ = 9 - 7 = 2.

Além disto temos que um termo qualquer de uma P.A. é média aritmética entre o seu antecedente e o seu consequente:

Progressão aritmética constante

Uma progressão aritmética é constante quando a sua razão é igual a zero. Neste caso todos os termos da P.A. têm o mesmo valor.

Exemplos:

P.A. ( 0, 0, 0, ... )

P.A. ( 3, 3, ..., 3 )

P.A. ( 7, 7, 7 )

Note que em todas as progressões acima r = 0.

Progressão aritmética crescente

Uma progressão aritmética é crescente quando a sua razão é maior que zero, ou seja, quando o consequente de um termo qualquer é maior que este termo.

Exemplos:

P.A. ( 1, 2, 3, ... )

P.A. ( 15, 21, 27, ... )

P.A. ( -16, -12, -8 )

Note que a razão das progressões acima, respectivamente 1, 6 e 4 são todas maiores que zero.

Progressão aritmética decrescente

Uma progressão aritmética é decrescente quando a sua razão é menor que zero, ou em outras palavras, quando o consequente de um termo qualquer é menor que este termo.

Exemplos:

P.A. ( 31, 29, 27, ... )

P.A. ( 75, 68, 61, ... )

P.A. ( 9, 0, -9 )

Veja que a razão das progressões acima, respectivamente -2, -7 e -9 são todas menores que zero.

Fórmula do termo geral de uma P.A.

Como sabemos, o próximo termo de um termo de uma P.A. é igual ao referido termo mais a razão r. Para uma P.A. genérica podemos dizer que o segundo termo é igual ao primeiro termo, a₁, mais a razão r:

O terceiro termo é resultado da soma do segundo termo com a razão:

Mas vimos que a₂ = a₁ + r, substituindo-o na expressão temos:

O quarto termo é resultado da soma do terceiro termo com a razão e como sabemos que a₃ = a₁ + 2r, temos:

Seguindo este raciocínio, o quinto termo será:

O sexto termo será:

Resumidamente temos:

Portanto, partindo-se do primeiro termo, a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é:

Mas e se partirmos de outro termo que não o primeiro?

Vejamos:

         

Na fórmula do termo geral da P.A., subtraímos 1 de n quando partimos do termo a1, perceba que quando partimos do termo a₂, subtraímos 2 de n, assim como subtraímos 3 ao partirmos de a₃ e 4 quando partirmos de a₄. Partindo então de um termo m, podemos reescrever a fórmula do termo geral da P.A. como:

Compreendendo a fórmula do termo geral da P.A. em função de qualquer termo

Como é de costume vamos a um exemplo para que a explicação fique de mais fácil entendimento.

Através da fórmula acima, vamos expressar o termo a₅ de uma P.A. genérica, em função do termo a₃:

Temos então que o termo a₅ pode ser expresso em função do termo a₃ como:

Embora seja óbvio, se não formos alertados, talvez não percebamos o que de fato a fórmula faz. Vejamos:

Sabemos que o próximo termo após a₃, é o termo a₄, que equivale a a₃ mais r, para chegarmos ao próximo termo, o a₅, somamos mais outra vez a razão r, ou seja, como nos deslocamos duas posições à direita, acrescentamos 2rao termo a₃ para chegarmos ao termo a₅. Veja que foi exatamente este o resultado obtido em função da fórmula, ou seja, a₅ = a₃ + 2r.

Agora para que vejamos como este raciocínio é bem mais prático que recorrermos à formula, vamos voltar de a₅para a₃:

Agora o termo procurado está à esquerda do termo atual, na verdade duas posições à sua esquerda, então vamos subtrair de a₅ duas vezes a razão, temos então que a₃ = a₅ - 2r.

Apenas para confirmação, vemos na sentença abaixo que através da fórmula chegamos ao mesmo resultado:

Em resumo, se partindo do termo atual iremos avançar n termos à direita, para chegarmos ao termo final, então temos que somar n vezes a razão r ao termo inicial. Se nos deslocarmos à esquerda, o procedimento é semelhante, só que ao invés de somarmos, iremos subtrair n vezes a razão r ao termo inicial.

Podemos afirmar, por exemplo, que a₁₇ = a₇ + 10r, pois avançamos 10 termos de a₇ a a₁₇, assim comoa₂₀ = a₂₅ - 5r, pois retrocedemos 5 termos de a₂₅ para a₂₀.

Soma dos termos de uma P.A.

Para expormos o raciocínio iremos utilizar a primeira P.A. utilizada como exemplo:

P.A. ( 5, 7, 9, 11, 13, 15 )

Qual é a soma dos seus termos?

Primeiramente vamos escrevê-la em ordem contrária:

P.A. ( 15, 13, 11, 9, 7, 5 )

Agora vamos montar uma outra P.A. cujo termo a_n seja a soma do termo a_n desta duas progressões:

P.A. ( 20, 20, 20, 20, 20, 20 )

Repare as somas são todas iguais, isto ocorre porque a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma dos seus extremos. Como neste caso os extremos são 5 e 15, temos que a soma de dois termos quaisquer equidistantes dos extremos será igual a 20.

Tendo em vista que temos seis termos nesta P.A, multiplicando 6 por 20, nos dará 120 que equivale a justamente o dobro da soma dos termos da P.A.

A divisão de 120 por 2 nos dará a soma dos termos desta P.A. que é igual a 60.

Generalizando temos que a soma de todos os termos de uma progressão aritmética é igual ao produto do número de termos pela metade da soma do primeiro com o n-ésimo termo. Em notação matemática temos:

Observe que esta fórmula nos permite calcular a soma de todos os termos de uma P.A., ou a soma de apenas os nprimeiros termos da mesma.

Se não dispusermos de a_n, desde que tenhamos a razão r, podemos utilizar esta outra fórmula abaixo, que foi deduzida simplesmente se substituindo a_n por seu respectivo valor a₁ + (n - 1)r:

Mas se ao invés de somarmos todos os elementos da P.A., quiséssemos somar apenas os termos do terceiro ao quinto por exemplo?

Neste caso é como se tivéssemos a seguinte P.A.:

P.A. ( 9, 11, 13 )

Recorrendo à fórmula temos:

Mas veja que podemos expressar a fórmula da soma dos termos da seguinte maneira:

Note que declaramos como p e q a posição do primeiro e do último termo do intervalo respectivamente, declarando assim a_p como o primeiro termo do intervalo e a_q como o último. Note também que o número de termos do intervalo considerado é igual à diferença entre as posições do último e do primeiro termo considerado, mais um.

Aplicando esta nova fórmula temos:

Exemplos de problemas envolvendo Progressão Aritmética

Qual é o vigésimo termo da P.A. ( 3, 10, 17, ... )?

Identificando as variáveis do problema temos:

Como conhecemos o primeiro termo e a razão da P.A., através da fórmula do termo geral iremos calcular o valor do vigésimo termo:

Logo:

O vigésimo termo da referida P.A. é igual a 136.

---

Qual é a soma dos números ímpares entre 10 e 30?

Sabemos que a diferença entre um número ímpar e o seu antecedente igual a 2. Este é o valor da razão.

O primeiro número ímpar do intervalo informado é 11 é o último é 29, portanto temos as seguintes variáveis:

Para calcularmos a soma dos termos, primeiramente precisamos identificar quantos termos são. Através da fórmula do termo geral iremos obter o número de termos da sucessão:

Agora que sabemos que a sucessão possui 10 termos, podemos calcular a sua soma:

Portanto:

A soma dos números ímpares entre 10 e 30 é igual a 200.